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紫荆棘鸟:一道数学逻辑推理题

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发表于 2021-6-26 18:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
不打诳语,确实是标准的数学逻辑推理题,与脑筋急转弯之类完全无关。
题:99张卡片上面分别写有2至100的99个数。随机抽出两张卡片,甲只知其两数和,乙只知其两数积。甲对乙说:“我不知道这俩数各是多少,但是你也不一定知道这俩数各是多少
乙对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,可是你这么一说,我就知道这俩数各是多少了。
甲说:“那我也知道这俩数各是多少了。这俩数各是多少?

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发表于 2021-6-26 20:05 | 显示全部楼层
浪花列个解题步骤:
(A十B)=AXB
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发表于 2021-6-27 11:14 来自手机 | 显示全部楼层
振波浪清 发表于 2021-6-26 20:05
浪花列个解题步骤:
(A十B)=AXB


根据老师的等式,这俩数都是 2 ?
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发表于 2021-6-27 11:37 来自手机 | 显示全部楼层
本帖最后由 夏莲 于 2021-6-27 17:02 编辑

没推理好,就删了,抱歉。重新推理的在第十楼。
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发表于 2021-6-27 13:16 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-27 11:14
根据老师的等式,这俩数都是 2 ?

应当各是2。
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 楼主| 发表于 2021-6-27 14:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 玫瑰花的语 于 2021-6-27 17:07 编辑

注意题中“99张卡片上面分别写有2至100的99个数”,也就是说99张卡上的数各不相同,卡上的数没有重复的,2至100中99个数也没有缺数的。所以各是2是不可能的
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 楼主| 发表于 2021-6-27 14:55 | 显示全部楼层
振波浪清 发表于 2021-6-26 20:05
浪花列个解题步骤:
(A十B)=AXB

题中没说这两个数的和与积相等。
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发表于 2021-6-27 15:13 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-27 14:20
注意题中“99张卡片上面分别写有2至100的99个数”,也就是说99,张卡上的数各不相同,卡上的数没有重复的 ...

太难了,能否提一点线索。
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发表于 2021-6-27 15:14 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-27 14:55
题中没说这两个数的和与积相等。

是的,是我理解错了。
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发表于 2021-6-27 16:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 夏莲 于 2021-6-27 16:57 编辑

分折:两个数的和越大,这两个数的可能性就越多,这两个数的和只能从最小的试起,两个数的和是5,这两个数分别是2和3,积当然是6成立;两个数的和是6,这两个数分别是2和4,积当然是8成立;如果两个数的和是7到102都不成立。

甲知道俩数的和,乙知道俩数的积。两人一句对话就都知道这俩数了,也说明这两数的和是比较小的,两数的积也是比较小的。
2至100中两个加数最小的和是5,最小积是6
2+3=5  1+4=5   2x3=6   1x6=6
因为卡片上没有1,1+4=5被排除,1x6=6也被排除。所以推理出这俩数分别是2与3
这是第一种情况

第二种情况
俩数分别是2与4,和是6,积是8则有
1+5=6  2+4=6  3+3=6
1x8=8  2x4=8
因为卡片上没有1,也没有相同的数
1+5=6  3+3=6  1x8=8  被排除,所以推理出这俩数分别是2与4

因为乙只知道俩数的积
如果乙手上的积是6,他当然立即知道这俩数就是2与3
如果乙手上的积是8,他当然立即知道这俩数就是2与4



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 楼主| 发表于 2021-6-27 17:27 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-27 16:08
分折:两个数的和越大,这两个数的可能性就越多,这两个数的和只能从最小的试起,两个数的和是5,这两个数分 ...

是的,因为乙只知道俩数的积,如果乙手上的积是6或8,他立即知道这俩数,但是乙对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,……”所以这两个数的积不是6或8。
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 楼主| 发表于 2021-6-27 18:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 玫瑰花的语 于 2021-6-27 18:37 编辑
振波浪清 发表于 2021-6-27 15:13
太难了,能否提一点线索。
提示:这两张卡片上各是哪两个数?假设这两个数为 (a,b),2≤a<b≤100,h=a+b,j= a*b。(a,b) 共有99!/(99-2)!2!=4851种组合。因为5≤h≤199,所以h与j各有195 种可能。我们将所有h与j构成的集合各分为两个子集h₁、j与h₂、j,其中h₁是h中所有能表示为两个素数之和的数的集合,h₂为剩余的数的集合;j₁是j中所有能表示为两个素数之积的数的集合,j₂为剩余的数的集合。先看第一句话。甲对乙说:“我不知道这俩数各是多少,但是你也不一定知道这俩数各是多少。”这意味着h(甲手中的数字) 不能表达为两个素数的和,否则的话,j(乙手中的数) 就是两个素数之积a*b,从而就能断言这两个数是 (a,b)。
再看第二句话。乙对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,可是你这么一说,我就知道这俩数各是多少了。乙手里的数字是j= a*b。假设将j分解成素数的乘积,j= j1^n1 * j2^n2 *...* jk^nk,其中j1,...,jk 是素数,n1,...,nk ≥ 1,这时j所对应的 (a,b) 组合,若不论2a<b≤100 这个约束,就有n= (n1+1)*(n2+1)*...*(nk+1) / 2 -1 种可能,现在乙能根据甲的第一句话推断出这两个数是什么,这意味着在 n 种 (a, b) 组合中,他能恰好排除 (n-1) 种可能,或者等价地说,j对应的n个a+b,恰好有 (n-1) 个属于集合 h₁中,1个属于h₂中。
现在看第三句话是。甲说:“那我也知道这俩数各是多少了。注意甲手里的数字是h= a+b,通常,h能表达为多种a+b,h不超过199,h能表示成 [ (h+1)/2] -2 种不同的 (a,b) 之和。甲看到手里的h后,对所有可能的总共 min{[ (h+1)/2] -2,[ (197-h)/2]}种可能的 (a、b),乙所对应的总共 min {[ (h+1)/2] -2,[ (197-h)/2]}种可能的乘积j,恰好存在一种组合使得乙能判断出 (a,b)。亦即在这么多不同的j中间,有且只有一个组合,满足第一步和第二步的检测。
很明显,随着h的增加,min {[ h+1)/2] -2,[ (197-h)/2]}也在增加 (然后变小),要满足第三个检测 (亦即存在唯一一个组合使得乙能判断) 也越来越困难。因此如果不依赖程序、只依赖手工去寻找这个组合,那么先应该去从小h中寻找才能保证更高的机率。
至于这道题的答案是否唯一,靠手工计算,是很麻烦的。不过即使不唯一,满足条件的答案估计也就那么几个,而且数字不会很大。
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发表于 2021-6-27 20:06 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-27 18:09
提示:这两张卡片上各是哪两个数?假设这两个数为 (a,b),2≤a<b≤100,h=a+b,j= a*b。(a,b) 共有99!/ ...

老师一定是大学数学教授了,分析的有理有节。浪花佩服。
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发表于 2021-6-27 20:26 来自手机 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-27 18:09
提示:这两张卡片上各是哪两个数?假设这两个数为 (a,b),2≤a<b≤100,h=a+b,j= a*b。(a,b) 共有99!/ ...

老师,推理题最好不用代数,会把人带进美国。我重新推理一下。
分折:两个数的和越大,这两个数的可能性就越多,要想知道这俩数是多少,只能从小的试起。

甲说我不知道这两个数是多少,说明甲手上的和不是5,如果和是5,他就知道是2与3,如果和是6,他也会知道是2与4,不会说我不知道的话。
乙听甲说不知道,就明白了甲手上的和分成加数至少有两种,才导致甲无法判断的。我们来假设和是7,则有
2+5=7   3+4=7    2×5=10   3x4=12
乙根据自己手中的积立即就知道了那俩数是多少了,说明乙手中的积是10,而不是12,因为12有3x4,还有2x6 ,只要有两选,乙就不会说我知道了
甲听乙说知道了,甲也明白了乙手上的积因式分解只有一种就是10=2x5  如果积是12,就有3x4,2x6,有两种情况乙就不会说我知道了。所以乙手上的积不是12,而是10。
根据以上的推理得出这俩数是2与5

大家可以假设甲手上的和是8  、9…100
试一试,看看能不能很果断地说我知道了。
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 楼主| 发表于 2021-6-28 15:26 | 显示全部楼层
振波浪清 发表于 2021-6-27 20:06
老师一定是大学数学教授了,分析的有理有节。浪花佩服。

老师,我梦想是大学教授,可是我就是一个普通的地球修理工。我这不过是借(紫荆棘鸟的)花献佛而已。
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 楼主| 发表于 2021-6-28 15:47 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-27 20:26
老师,推理题最好不用代数,会把人带进美国。我重新推理一下。
分折:两个数的和越大,这两个数的可能性就 ...

老师辛苦了!敬
如果乙手中的积是10,乙就不会对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,……”了,因为乙手中的积是10,立即就知道这两个数是2和5。
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发表于 2021-6-28 16:19 来自手机 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-28 15:47
老师辛苦了!敬
如果乙手中的积是10,乙就不会对甲说:“本来我不知道这俩 ...

你说滴对,积不是10,如果是10,乙就知道是2与5,不会说不知道。我只从和入手推理了,忽视了积。这俩数就是2与6
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发表于 2021-6-28 16:31 来自手机 | 显示全部楼层
本帖最后由 夏莲 于 2021-6-28 17:28 编辑

得空再试试,现在要做饭了。
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 楼主| 发表于 2021-6-28 16:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 玫瑰花的语 于 2021-7-18 21:01 编辑
夏莲 发表于 2021-6-28 16:31
和是7被排除,试和是8就成立了。这俩数分别是2与6

如果和是8,8=2+6=3+5,那么积是12、15。如果积是12,乙不会对甲说:“……可是你这么一说,我就知道这俩数各是多少了。”因为乙始终不知道这两个数是多少;如果积是15,乙不会对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,……因为乙知道积15便知道这两个数是3和5.
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发表于 2021-6-28 17:30 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-28 16:55
如果和是8,8=2+6=3+4,那么积都是12,乙不会对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,可是你这么一说,我 ...

得空再试试看。
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 楼主| 发表于 2021-6-28 20:24 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-28 17:30
得空再试试看。

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发表于 2021-6-28 22:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 夏莲 于 2021-6-29 10:57 编辑

换一个思路用排除法最后推试一次
甲对乙说:“我不知道这俩数各是多少,(这句排除和是5与6)但是你也不一定知道这俩数各是多少。”(这句排除和是9以及大于9的数)“不一定”这句话是二选一,机会各半的意思,说明甲手上的和只能分成四个加数,且其中有两个加数的乘积是能直接判断出那俩数的。9(2+7、3+6、4+5)是六个加数,所以排除9以及大于9的和)
这样甲手上的和就只剩下7与8这两种可能了。现将7与8的和等式、对应的积等式集合如下:
2+5=7   3+4=7    2+6 =8   3+5=8
2x5=10  3x4=12   2x6=12   3x5=15

乙对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,(这句排除积是10与15 ,同时排除2+5,3+5)可是你这么一说,我就知道这俩数各是多少了” 乙说知道了,只是知道这两组数各是3与4,2与6,究竟是两个数呢?乙其实不知道。

甲说:“那我也知道这俩数各是多少了”  甲根据自己手上的和可直接判断出这俩数各是多少了。如果和是7则俩数就是3与4,如果和是8这俩数就是2与6。我只能推到这样。







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 楼主| 发表于 2021-6-29 17:14 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-28 22:11
换一个思路用排除法最后推试一次
甲对乙说:“我不知道这俩数各是多少,(这句排除和是5与6)但是你也不一 ...

乙对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,可是你这么一说,我就知道这俩数各是多少了” 乙说知道了,乙其实是真知道。只要乙不知道,甲是不会知道的,否则甲不会对乙说:“我不知道这俩数各是多少,……”因为甲开始就知道了。
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发表于 2021-6-29 17:35 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-29 17:14
乙对甲说:“本来我不知道这俩数各是多少,可是你这么一说,我就知道这俩数各是多少了” 乙说知道了,乙 ...

他们都知道,就是观众我不知道。
老师辛苦了!
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 楼主| 发表于 2021-6-29 18:44 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-29 17:35
他们都知道,就是观众我不知道。
老师辛苦了!

其实你最先知道!只有你的正确、严谨的推理,才能使他们能否知道。对不对,无所谓,重在参与!老师辛苦了!送请你吃
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发表于 2021-6-30 10:51 | 显示全部楼层
玫瑰花的语 发表于 2021-6-29 18:44
其实你最先知道!只有你的正确、严谨的推理,才能使他们能否知道。对不对,无所谓,重在参与!老师辛苦了 ...

老师你太客气了!花我收下,因天气太热西瓜吃完了,茶也用完了。没什么可回的,就握个手吧!真诚说声:谢谢你!
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 楼主| 发表于 2021-7-1 13:21 | 显示全部楼层
夏莲 发表于 2021-6-30 10:51
老师你太客气了!花我收下,因天气太热西瓜吃完了,茶也用完了。没什么可回的,就握个手吧!{:default/72 ...

客气了。其实你的思维方向是正确的,只不过解答不是非常容易!相传此题是大数学家希尔伯特出给同行们消遣的,不知真假,可能系谣传。无论如何,虽然解答不是非常容易,但出题人才是更厉害的,因为他事先得有很强的直觉,能判断出原来这题有可解性。
为简便起见,我们看能否将和的范围缩小?由于任何合数都可化成两个素数相加,所以我们可以略去合数,只研讨这两个数的和是素数的境况。
假设这两数的和(h)11在甲手中,那么、
h=11=2+9=3+8=4+7=5+6,则这两数的积(j)有18、,24、28、30其中之一在乙手中,当
j=18=2*9=3*6.h1:2+9,3+6.乙不能判断。
j=24=2*12=3*8=4*6.h1:2+12,4+6;h2:3+8.乙能判断。
j=28=2*14=4*7.h1:2+14,;h2:4+7.乙能判断。
j=30=2*15=3*10=5*6。h1:3+10;h2:2+15,5+6.乙不能判断。
由于3+8、4+7乙都能判断,至此导致乙不能判断,所以这两数的和不是11.
假设这两数的和(h)13在甲手中,那么
h=13=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7,则这两数的积(j)有22、,30、36、40、42其中之一在乙手中,当
j=22=2*11.h1:2+11。不合题意。
j=30=2*15=3*10=5*6。h1:3+10;h2:2+15,5+6.乙不能判断。
j=36=2*18=3*12=4*9.h1:2+18;h2:3+12,4+9.乙不能判断。
j=40=2*20=4*10=5*8。h1:2+20,4+10,5+8.乙不能判断。
j=42=2*21=3*14=6*7.h1:6+7,;h2:2+21,3+14.乙不能判断。
所以这两数的和不是13.
老师,你接下去研讨吧,成功在前面候着你,说不定下一个假设你就要成功!
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